PRACTICA DIRIGIDA Nº 4 ( PROBLEMAS 1, 3 , 6, 12 ,16 )

1. Hallar los puntos de intersección de la recta 2x – 9y +12 = 0 con las asintotas de la hipérbola 4x² - 9y² = 11

Solución :

Ecuación de la asintota : y = ± b/a


4x² - 9y² = 11
4/ 11 x² - 9/11y² = 1
x² / √11/4 - y² / √9/11 = 1

a = √11/4
b = √11/9

Ecuaciones de las asintotas :

y = ± √11/9 / √11/4
y = ± 2/3

asintota 1 : 2x – 3y = 0

asintota 2 : 2x + 3y = 0

PUNTOS DE INTERSECCION

Despejando la ecuación de la recta con la asintota 1

2x – 9y +12 = 0
2x – 3y = 0

x =3 , y = 2

Despejando la ecuación de la recta con la asintota 2

2x – 9y +12 = 0
2x + 3y = 0

x =-3/2 , y = 1


3. hallar la ecuación de la hipérbola que pasa por el punto ( 2 , 3 ) , tiene su centro en el origen , su eje transversal esta sobre el eje y , y un a de sus asintotas es la recta 2y - √7x = 0

Solución:

Ecuación de la asintota : y = ± a/b

Despejando y = ± √7/2 x
a / b = √7/2


remplazando el punto ( 2 , 3 )

y² / a² - x² / b² = 1
9 / a² - 4 / b² = 1
9 b² - 4 a² = a²b²

Despejando a y b :

a = √2
b = √8/7


ECUACIÓN DE LA HIPERBOLA : Y² / 2 - 7X² / 8 = 1


6. Una hipérbola tiene su centro en el origen su eje conjugado en el eje x . la longitud de cada lado recto es 2 / 3 y la hipérbola pasa por el punto ( -1 , 2 )
Hallar su ecuación.

Solucion :

Lado recto : 2b² / a = 2/3

b² = a / 3


remplazando el punto ( -1 , 2 ) :

4 / a² - 1 / b² = 1
4 b² - a² = a²b²
Remplazando b²
4 a/3 - a² = a²a/3

a = 1 , b = √1/3


ECUACIÓN DE LA RECTA : Y² - 3X² = 1


12. hallar la ecuación de la elipse que pasa por el punto ( √7/2 , 3 ) , tiene su centro en el origen , su eje menor coincide con el eje x y la longitud de su eje mayor es el doble de la su eje menor.

Solucion :

x² / b² - y² / a² = 1
7/4 / b² - 9 / a² = 1
Eje mayor = 2a = 4p
Eje menor = 2b = 2p

Remplazando:

7/4 / p² + 9 / 2p² = 1
7/4 / p² + 9 / 2p² = 1
7 / 4p² + 9 / 4p² = 1
4p² = 16
p = 2

a = 4
b = 2


ECUACIÓN DE LA ELIPSE: x² / 4 + y² / 16 = 1



16. Los focos de una elipse son los puntos ( -4 , -2 ) y ( -4 , -6 ) y la longitud de cada lado recto es 6 . hallar la ecuación de la elipse y su excentricidad.

Solución:

Lado recto = 2b² / a = 6
b² = 3a

Centro de la elipse :

X = -2-6 / 2 = -4
Y = -4-4 / 2 = -4

Entonces el valor de c = 2

a² = c² + b²
a² = 4 + 3a

Resolviendo:

a = 4
b = √12


ECUACIÓN DE LA ELIPSE: ( x + 4 )² / 12 + ( y + 4 )² / 16 = 1

EXCENTRICIDAD: c / a = 2 / 4 = 1 / 2