FUNCIONES HIPERBOLICAS

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS

TAREA DIRIGIDA ( FUNCIONES TRIGONOMETRICAS )

PRACTICA DIRIGIDA Nº 4 ( PROBLEMAS 1, 3 , 6, 12 ,16 )

1. Hallar los puntos de intersección de la recta 2x – 9y +12 = 0 con las asintotas de la hipérbola 4x² - 9y² = 11

Solución :

Ecuación de la asintota : y = ± b/a


4x² - 9y² = 11
4/ 11 x² - 9/11y² = 1
x² / √11/4 - y² / √9/11 = 1

a = √11/4
b = √11/9

Ecuaciones de las asintotas :

y = ± √11/9 / √11/4
y = ± 2/3

asintota 1 : 2x – 3y = 0

asintota 2 : 2x + 3y = 0

PUNTOS DE INTERSECCION

Despejando la ecuación de la recta con la asintota 1

2x – 9y +12 = 0
2x – 3y = 0

x =3 , y = 2

Despejando la ecuación de la recta con la asintota 2

2x – 9y +12 = 0
2x + 3y = 0

x =-3/2 , y = 1


3. hallar la ecuación de la hipérbola que pasa por el punto ( 2 , 3 ) , tiene su centro en el origen , su eje transversal esta sobre el eje y , y un a de sus asintotas es la recta 2y - √7x = 0

Solución:

Ecuación de la asintota : y = ± a/b

Despejando y = ± √7/2 x
a / b = √7/2


remplazando el punto ( 2 , 3 )

y² / a² - x² / b² = 1
9 / a² - 4 / b² = 1
9 b² - 4 a² = a²b²

Despejando a y b :

a = √2
b = √8/7


ECUACIÓN DE LA HIPERBOLA : Y² / 2 - 7X² / 8 = 1


6. Una hipérbola tiene su centro en el origen su eje conjugado en el eje x . la longitud de cada lado recto es 2 / 3 y la hipérbola pasa por el punto ( -1 , 2 )
Hallar su ecuación.

Solucion :

Lado recto : 2b² / a = 2/3

b² = a / 3


remplazando el punto ( -1 , 2 ) :

4 / a² - 1 / b² = 1
4 b² - a² = a²b²
Remplazando b²
4 a/3 - a² = a²a/3

a = 1 , b = √1/3


ECUACIÓN DE LA RECTA : Y² - 3X² = 1


12. hallar la ecuación de la elipse que pasa por el punto ( √7/2 , 3 ) , tiene su centro en el origen , su eje menor coincide con el eje x y la longitud de su eje mayor es el doble de la su eje menor.

Solucion :

x² / b² - y² / a² = 1
7/4 / b² - 9 / a² = 1
Eje mayor = 2a = 4p
Eje menor = 2b = 2p

Remplazando:

7/4 / p² + 9 / 2p² = 1
7/4 / p² + 9 / 2p² = 1
7 / 4p² + 9 / 4p² = 1
4p² = 16
p = 2

a = 4
b = 2


ECUACIÓN DE LA ELIPSE: x² / 4 + y² / 16 = 1



16. Los focos de una elipse son los puntos ( -4 , -2 ) y ( -4 , -6 ) y la longitud de cada lado recto es 6 . hallar la ecuación de la elipse y su excentricidad.

Solución:

Lado recto = 2b² / a = 6
b² = 3a

Centro de la elipse :

X = -2-6 / 2 = -4
Y = -4-4 / 2 = -4

Entonces el valor de c = 2

a² = c² + b²
a² = 4 + 3a

Resolviendo:

a = 4
b = √12


ECUACIÓN DE LA ELIPSE: ( x + 4 )² / 12 + ( y + 4 )² / 16 = 1

EXCENTRICIDAD: c / a = 2 / 4 = 1 / 2

PRACTICA DIRIGIDA Nº 3 (PROBLEMAS 1 , 4 , 9 , 14 , 17 )

1. los extremos de un diametro de una circunferencia son los puntos A = ( 2 , 3 ) , B =(-4 , 5 ) . hallar la ecuación de la circunferencia , graficar la circunferencia .

x = -4 + 2 /2 =-1
y = 5 + 3 / 2 = 4

r = √(4-3)² + (-1-2)²

r = √1 + 9

r = √10

Ecuación: (X + 1)² + (Y – 4 )² = 10


4. hallar la ecuación de la circunferencia de radio 5 y cuyo centro es el punto de intersección de las rectas 3x – 2y -24 = 0 , 2x + 7y -9 = 0

Centro = ( h , k ) = ( x , y ) y r = 5

3x – 2y – 24 = 0
2x + 7y – 9 = 0

2 (3x – 2y – 24 = 0)
-3 (2x + 7y – 9 = 0)

6x – 4y – 48 = 0
-6x - 21y + 27 = 0

Y = -21 / 25 , x = 558 / 75

Ecuación : (X – 558/75)² + (Y + 21/25 )² = 25


9. hallar la ecuación de l parábola cuyo vértice y foco son los puntos ( 3 , 3) y (3 , 1) respectivamente . hallar la ecuación de su directriz y la longitud de su lado recto .

a) La ecuación de la parabola es de la forma :

(x – h)² = 4p(y – k)

(x – 3)² = 4p(y – 3)
P = Fv = 3 - 1 = 2

Como la palabra se abre hacia abajo , p es negativo o sea
P = -2

Ecuación : (X – 3)² = -8(Y – 3)

b) la directriz tiene como punto ( 3 , 5), entonces la ecuación de la directriz es :

Y = 5

c) la longitud del lado recto es es :

4p = 4(2) = 8


14. hallar la ecuación de la recta tangente de pendiente -1 a la parábola
y² = 8x

m = -1 y² = 4px

Formula de la ecuación de la recta tangente si se conoce la pendiente:

y = mx + p/m

remplazando :

4px = 8x
P = 2

y = -1x + 2/-1

Ecuación : Y – X + 2 = 0

17. sea la parábola y² - 2x + 6y + 9 = 0 . Hallar los valores de k para los cuales las rectas de la familia x + 2y + k = 0

a) cortan a la parábola en dos puntos diferentes
b) son tangentes a la parábola
c) no cortan

y² - 2x + 6y + 9 = 0

x + 2y + k = 0
x = -2y - k

y² - 2(-2y-k) + 6y + 9 = 0
y² - 10y + 2k + 9 = 0

∆ = b² - 4ac = 10 ²-4(1)(2k+9)

a) ∆ > 0
10 ²-4(1)(2k+9) > 0
16 > 2k
k<2k
E < -∞, 8 >

b) ∆ = 0
10 ²-4(1)(2k+9) = 0
16 = 2k
K= 8
k E { 8 }

c) ∆ < 0
10 ²-4(1)(2k+9) < 0
16 < 2k
K > 8
k E <>

figura nº 8

figura nº 9